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zoom RSS 続・金魚の興亡盛衰 〜3つのフェイズと累乗の力〜

<<   作成日時 : 2009/01/20 00:02   >>

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それでは応用編に移ろうと思う。

ここからは一般化の話になります。
おびただしい数の生き物が死滅するという、残酷な描写があります。なので、ここからはR15とします。





「孵化フェイズ」「産卵フェイズ」「死亡フェイズ」の順番にすると、全滅までの日数が最も長くなる。
そして、これに関しては簡単に一般化できる。
ルールは前回の通りだ。
最初の金魚の数はX匹とする。この場合、何日目で全滅するか。また、最大数は何匹か。Xを使って表してみましょう。

ノーヒントでやろうと思う人は、ここで読むのをストップ。

ちなみに、最初からX匹でやるよりも、具体的な数(10匹とか)でやってからの方がやりやすいかもしれません。




               /~\
  _           /ヾヽヽヽ
 〈三三ミ丶 、     /ミヾヽヽヽ
  ヽ三三ミミミ 丶、_ <ミ_ミヾヾ-ヽ- |_
  ヽ二ニニ=   ~`´        \
     ` -二ニ=   _: : : :    ,   `ヽ、
        〉ニ=  // 、、、 、、(   (●) >
    , -‐'´彡彡ノノ { 、x x x < ヽ   ,フ  長生きしてえなあ・・・
  ,/三 彡彡ノ/  ヽ、x X X X/lll|_/
 (二ニ 彡-‐'"´    ,-‐'`‐,-‐‐/川|
  ` ‐'"´        /彡''/   !彡"
             {彡'/
             ヽノ


               /~\
  _           /ヾヽヽヽ
 〈三三ミ丶 、     /ミヾヽヽヽ
  ヽ三三ミミミ 丶、_ <ミ_ミヾヾ-ヽ- |_
  ヽ二ニニ=   ~`´        \
     ` -二ニ=   _: : : :    ,   `ヽ、
        〉ニ=  // 、、、 、、(   (●) >
    , -‐'´彡彡ノノ { 、x x x < ヽ   ,フ  生き延びてやる・・!
  ,/三 彡彡ノ/  ヽ、x X X X/lll|_/
 (二ニ 彡-‐'"´    ,-‐'`‐,-‐‐/川|
  ` ‐'"´        /彡''/   !彡"
             {彡'/
             ヽノ


               /~\
  _           /ヾヽヽヽ
 〈三三ミ丶 、     /ミヾヽヽヽ
  ヽ三三ミミミ 丶、_ <ミ_ミヾヾ-ヽ- |_
  ヽ二ニニ=   ~`´        \
     ` -二ニ=   _: : : :    ,   `ヽ、
        〉ニ=  // 、、、 、、(   (●) >
    , -‐'´彡彡ノノ { 、x x x < ヽ   ,フ  おれたち数学的キンギョッ!
  ,/三 彡彡ノ/  ヽ、x X X X/lll|_/
 (二ニ 彡-‐'"´    ,-‐'`‐,-‐‐/川|
  ` ‐'"´        /彡''/   !彡"
             {彡'/
             ヽノ









<考え方>

※累乗表記と分数表記が読みにくくてすいません。

N日目の、孵化数をA(N)、産卵数をB(N)、生き残り数をC(N)とする。

A(1)=0 ・・・@
B(1)=X ・・・A
C(1)=X−1 ・・・B

A(N)=B(N−1) ・・・C
B(N)=A(N)+C(N−1) ・・・D
C(N)=B(N)−2の(N−1)乗 ・・・E

CDEから、
B(N)=2B(N−1)−2の(N−2)乗 ・・・F

これらの両辺を2のN乗で割り、D(N)=B(N)÷2のN乗とする。 ・・・G
すると、D(1)=X÷2 ・・・H
D(N)=D(N−1)−1÷4 ・・・I

よって、D(N)=(2X+1−N)÷4 ・・・J

これをGに代入して、B(N)=(2X+1−N)×2の(N−2)乗 ・・・K

よって、C(N)=(2X−1−N)×2の(N−2)乗 ・・・L
これが0以下になる最初のNを求めればよい。


つまり、金魚は2X−1日目で、丁度全滅する。
また、最大数は同じ日の産卵フェイズ終了時の2の(2X−2)乗となる。


このことから、最初100匹ならば199日目で全滅し、最大数は400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(4×10の59乗)を超える。それが199日目の死亡フェイズで一気に全滅するのだ。空前絶後のカタストロフィーである。
1匹の金魚の質量が1グラムとしても、太陽の質量の200000000000000000000000000倍。
これは銀河の質量を遥かに上回り、全宇宙の質量をも超えてしまう。
すなわち、100匹の数学的金魚がこの法則に従って増減を繰り返すと、宇宙の全てが金魚になってしまうのだ!
げに恐るべしは数学的金魚。


※銀河の質量は太陽の1兆倍、宇宙に存在する銀河の数は1000億個程度というデータに基づく計算です。






フェイズが「孵化」「産卵」「死亡」の順番ならば、初期の数を設定すれば、何日目で全滅するかがはっきりした。
また、「孵化」「死亡」「産卵」の順、「死亡」「孵化」「産卵」の順のも、上記の応用で出せる。
それでは、残り3つの場合はどうだろうか。前の記事で述べたが、残念ながら私の数学力では一般化が出来なかった。とりあえず、「産卵」「孵化」「死亡」の順番で、最初の数が1000匹の場合を書いておく。


日数      産卵数      孵化数      死亡数     生き残り数
 1       1000         0          1        999
 2        999      1000          2       1997
 3       1997       999          4       2992
 4       2992      1997          8       4981
 5       4981      2992         16       7957
 6       7957      4981         32      12906
 7      12906      7957         64      20799
 8      20799     12906        128      33577
 9      33577     20799        256      54120
10      54120     33577        512      87185
11      87185     54120       1024     140281
12     140281     87185       2048     225418
13     225418    140281       4096     361603
14     361603    225418       8192     578829
15     578829    361603      16384     924048
16     924048    578829      32768    1470109
17    1470109    924048      65536    2328621
18    2328621   1470109     131072    3667658
19    3667658   2328621     262144    5734135
20    5734135   3667658     524288    8877505
21    8877505   5734135    1048576   13563064
22   13563064   8877505    2097152   20343417
23   20343417  13563064    4194304   29712177
24   29712177  20343417    8388608   41666986
25   41666986  29712177   16777216   54601947
26   54601947  41666986   33554432   62714501
27   62714501  54601947   67108864   50207584
28   50207584  62714501  112922085(※)       0


28日目で全滅。
最大数は117316448匹。(27日目の孵化フェイズ終了時)
やはり、最大になってから2日以内に全滅している。
また、同じフェイズの順番で、最初が10匹なら8日で、100匹なら18日で全滅している。
ということは、10000匹なら38日目に全滅するのだろうか?
フィボナッチ数列とlogを使えばおおよその傾向はわかるかもしれない。

ちなみに、計算に1時間ほど浪費した。我ながらアホである。
しかし、私はこういう作業が大好きなのだ。仕方ない。人生とはままならぬものである。



今後の課題を残したところで、今回は終了する。

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コメント(2件)

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数学的キンギョの呟きが切ないですね…。計算、お疲れ様です。
奄美の黒兎
2009/01/20 18:41
奄美さん、こんばんは。
計算よりも、その結果を記事に書き写す方がしんどかったです。計算と、記事を書くのと、合わせて8時間くらいでしょうか。流石にその作業をやった翌日は数学に拒否感を感じてしまいました・・。
アッキー
2009/01/20 21:44

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