佐久間闇子と奇妙な世界

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zoom RSS 正二十四面体

<<   作成日時 : 2008/07/27 00:00   >>

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馬鹿かお前は・・というツッコミが入りそうですが、これからちゃんと説明するので、どうかご辛抱を。

もちろん3次元においては「正二十四面体」などどいうものは存在しません。
3次元においては、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類しか正多面体は存在しませんね。しかし、4次元以上を考えた場合、正多面体はこれだけにとどまりません。
正多面体の定義は「全ての面が合同な正多角形からなり、各頂点に集まる辺の数が全て等しい多面体」です。これを4次元以上においても拡張して適用すれば、正二十四面体という摩訶不思議な立体が出来上がるのです。おっと、「立体」という言い方は正しくありませんね。「四次元立体」とでも表現しましょうか。


一辺の長さが1の正二十四面体を考えてみましょう。
頂点の数は16、辺の数は32、面の数はもちろん24です。
頂点の座標はわかりやすく、以下のように設定しましょう。(左から、X軸座標、Y軸座標、Z軸座標、α軸座標。これらの軸は、他の3軸と直交している。)

A1=(0,0,0,0)
A2=(0,0,0,1)
A3=(0,0,1,0)
A4=(0,0,1,1)
A5=(0,1,0,0)
A6=(0,1,0,1)
A7=(0,1,1,0)
A8=(0,1,1,1)
A9=(1,0,0,0)
A10=(1,0,0,1)
A11=(1,0,1,0)
A12=(1,0,1,1)
A13=(1,1,0,0)
A14=(1,1,0,1)
A15=(1,1,1,0)
A16=(1,1,1,1)

さて、2点間の距離は三平方の定理から導くことが出来ます。例えば、A1とA7の距離は√2です。
これら16の頂点は、それぞれ距離1の点を4つ持ちます。(A1ならばA2、A3、A5、A9)
つまり、この四次元立方体は32の辺を持っていることがわかります。
また、面の数は4C2×4=24になります。
ベクトルを使えば更に厳密な証明が可能(内積を利用)なのですが、ここでは割愛します。


さて、この結果を応用して、高次元立方体の頂点と辺の数、そして面の数を一般式で表してみましょう。

<N次元立方体>
頂点・・・2のN乗
辺・・・N×(2のN−1乗)
面・・・N(N−1)×(2のN−3乗)

例えば五次元立方体は、頂点32、辺80、面80の、正八十面体になります。

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コメント(4件)

内 容 ニックネーム/日時
ものすごく興味深いですね!(よくわからないところも多いのですが。)
まずは、2進法の方式が16辺をあらわすのに活用されているというところがおもしろい。
中学校で多面体を習ったときに「オイラーの多面体公式」というのがあったのを思い出しました。「面の数+頂点の数−辺の数=2」というやつです。それをここで紹介されている4次元、5次元の多面体に当てはめると、24+16−32=8,32+80−80=32となります。2、8、32というのもなにかありそうな、...。
ところで、面の数が「4C2×4」になるというところがよくわかりません。
(最後の公式の表記は、理解するのにちょっと時間がかかりました。「2のN-1乗」と「2のN-3乗」をカッコつきにしたほうがいいと思います。)
ヒッピー
2008/07/27 10:17
ヒッピーさん、こんにちは。
2進法の表記を使えるのは、立方体の延長だからですね。これが正四面体の延長とかになると、分数やら√やらが大量出現。
オイラーの多面体公式の応用は興味深いです。2、8、32は2の累乗で、4倍ずつになっていますね。6次元でも調べてみましょう。それと、他の高次元立体でも同じことになるのか調べてみたいと思います。結果はまたいずれ。
面の数が4C2×4になるのは、4つの軸から2つを選び、その中で、残り2つの座標の等しい点の組で作られた4つの正方形が考えられるからです。(例えば、Z軸とα軸を選んだ場合、X座標が0でY座標が0の点の集まりの、正方形A1-A2-A4-A3が考えられる。)

公式の表記は修正します。
アッキー
2008/07/27 12:53
ルイス・キャロルだと思っていたらチャールズ・ドッジソンでもある数学者アッキーさんの面目躍如たる記事ですね。
私は数学は高校の途中で挫折してしまいましので、わかるようなわからないような…。でも、四次元というのは、SFだけのことだと思っていたら、数学ではちゃんと計算できる対象なんですね。
すずな
2008/07/27 14:58
すずなさん、こんばんは。
忘れていたかもしれないけれど、私は数学者をも目指している・・。大きな挫折を味わってから、しばらく数学からは離れていたのですが、ここ2年くらいの間に復活してきました。
数学は現実に存在しない設定も出来るんです。SFでの4次元とは微妙に意味がずれてるかもしれませんが。最近では6桁くらいの次元を扱う学問が出てきたりして・・。そこまでいくと私も殆どちんぷんかんぷんですね。
アッキー
2008/07/27 21:16

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